Habitualmente, a existência de valores próprios complexos para matrizes ou, equivalentemente, para endomorfismos de um espaço vectorial complexo é estabelecida a partir da observação que estes são precisamente as raízes do polinómio característico, um polinómio construído a partir da noção de determinante; Utiliza-se então o teorema fundamental da Álgebra, que garante que um tal polinómio tem necessariamente uma raíz complexa. Nesta exposição propomos uma via alternativa para estabelecer a existência de valores próprios que, para além de resultados topológicos elementares, utiliza apenas técnicas de Cálculo Diferencial para funções de uma variável real, dispensando assim tanto a noção de determinante, como o teorema fundamental da Álgebra. Como aplicação, mostraremos que o teorema fundamental da Álgebra, pode ser obtido, de forma muito simples, como aplicação da existência de valores próprios. Referiremos enfim como os resultados correspondentes que envolvem endomorfismos de espaços vectoriais reais podem ser obtidos sem passar pelo método habitual de construção do complexificado de um espaço vectorial real.