Em todas as situações o ser humano procura sempre melhorar, isto é, optimizar o que tem, o que é. O mesmo se passa na Natureza. Por exemplo, os corpos tendem a ocupar uma posição com a energia potencial mínima possível; a luz, segundo o Princípio de Fermat, escolhe o caminho mais curto entre dois pontos, etc.. Daí  que seja natural  estudar os problemas de minimização e maximização, dado que melhoramos a nossa vida e entendemos melhor a Natureza.

Já se encontram vestígios de primeiros problemas de maximização e minimização nos trabalhos dos filósofos e poetas da Grécia Antiga. Nos tempos da construção do edifício da Matemática clássica estas questões sempre serviram como guias que orientaram os cientistas na sua procura do caminho para resolução dos problemas, deram vida ao Cálculo Diferencial e Cálculo das Variações. Nos meados do século XX nasceu a Teoria de Controlo Óptimo, a versão moderna do Cálculo das Variações, que foi a resposta da Matemática à necessidade de resolver problemas práticos colocados pela tecnologia moderna. No fim do século XX começou a formar-se uma nova disciplina matemática, a Análise Variacional que é reconhecida como uma área promissora da Matemática que está em fase de rápido crescimento e que está relacionada com o estudo de optimização e problemas de equilíbrio, e também é responsável pela aplicação de princípios variacionais aos problemas de natureza não variacional.

Neste colóquio pretende-se dar uma descrição sucinta da história, das ideias principais e dos métodos da parte da Matemática que está relacionada com a procura dos mínimos e máximos.