Abstract: A teoria de distribuição uniforme módulo um tem como
principal tema de estudo a distribuição de pontos em espaçoos de
probabilidade compactos; No nosso trabalho restringimo-nos ao caso do
toro unidimensional, ou, equivalentemente, ao intervalo unitário [0;
1]. É possível dizer-se que o despontar da teoria foi a descoberta de
que a parte fraccionária dos múltiplos de um irracional é nãoo só densa
no intervalo unitário (como foi provado por Kronecker) mas também
uniformemente distribuída (como foi provado independentemente por Bohl,
Sierpinski e Weyl em 1909 e 1910). Ou seja, a distribuição empírica da
sequência é assimptoticamente igual à distribuição uniforme.
Van der Corput considerou uma medida quantitativa para
descrever o comportamento de uma sequência quanto à sua distribuição,
nomeadamente, o máximo desvio entre a distribuição empírica da sequência
e a distribuição uniforme, chamada a discrepância, DN, da sequência.
Uma vez que a determinação exacta da discrepância de uma sequência é
apenas possível em casos triviais e desinteressantes um dos problemas
relacionado com o estudo da discrepância é a determinação de limites
superiores e inferiores para a discrepância de alguns tipos especiais de
sequências. Neste seminário veremos, em particular, como obter uma
fórmula explícita para a discrepância de sucessões do tipo
$(n\alpha)_n$.
Nessa tarefa, a expansão de Ostrowski desempenha um
papel fundamental. Esta técnica foi introduzida por Ostrowski nas
publicações Bemerkungen zur Theorie der Diophantischen Approximationen
I, II, III, Abhandlungen Mathematisches Seminar Hamburg 1, 77-98, pp.
250-251 (1922) e 4, p. 224, 1926 e garante que dado um
irracional $\alpha= [a0; a1; ... ; an; ... ]$ com convergentes
$(p_n/q_n)_n$ e um inteiro não negativo N, existem inteiros não
negativos únicos $b_0,..., b_m$ verificando as condições $b0 < a1,
bi < a_{i+1}, bi = a_{i+1}$ implica $b_{i-1} = 0$, para
1 <=i<= m e tais que $N = b_0q_0 +...+b_mq_m$, dita a expansão de
Ostrowski de N na base alpha e os $b_i$ são ditos os dígitos da expansão
de Ostrowski. |