Como foi observado por B. Banaschewski e H. Herrlich num artigo de
1976, para uma álgebra, a satisfação de uma implicação é equivalente à
injectividade da álgebra relativamente a um certo homomorfismo
sobrejectivo. Inspirado neste facto, G. Rosu, num artigo de 2001
publicado nas LNCS, formulou um sistema dedutivo categorial completo que
enquadra a lógica equacional de Birkhoff. Em 2005, J. Adámek, M. Sobral
e eu própria apresentámos um sistema dedutivo categorial semelhante mas
com diferenças significativas, também completo, o Sistema Dedutivo
Finitário para a Injectividade (SDFI), que, no caso da categoria das
álgebras para uma dada assinatura, se particulariza na lógica
implicacional de Quackenbush (1988). Este foi um ponto de partida para
trabalhos posteriores, publicados numa série de três artigos, em
conjunto com J. Adámek e M. Hébert, onde apresentámos várias
generalizações desse sistema dedutivo e correspondentes teoremas de
completude. Para além da inicial lógica da injectividade foi também
estudada a lógica da ortogonalidade. A completude dessas lógicas
revelou-se intimamente ligada a dois problemas bem conhecidos de teoria
de categorias, o "Small Object Argument" e o "Orthogonal Subcategory
Problem". Assim, nalguns casos, o estudo da completude levou-nos a novas
respostas para esses problemas.
Neste
seminário começarei por dar conta dalguns aspectos iniciativos e
motivadores de todo este estudo, apresentando o SDFI e a sua
particularização num sistema dedutivo para implicações. Farei depois uma
breve descrição das generalizações do SDFI, as suas motivações e alguns
dos resultados obtidos. Terminarei com a apresentação de um novo
sistema dedutivo categorial, completo, que, resultando de uma pequena
mudança do SDFI, tem a propriedade de abarcar tanto a lógica das
implicações de Quackenbush como a lógica equacional de Birkhoff. |