Seja S o modelo, contruído por Blyth e Mendes Martins, de um semigrupo com um subgrupo associado cujo elemento identidade é um idempotente medial de S, considerado aqui como um semigrupo unário. Para outro semigrupo T nestas condições, construímos todos os homomorfismos unários de S em T em termos dos seus parâmetros. Em S, construímos todas as congruências unárias também em termos dos seus parâmetros. Esta construcção leva à caracterização de congruências em termos de núcleos (kernels) e traços. Finalizamos descrevendo as relações K, T, L, U e V no reticulado de todas as relações unárias em S, novamente em termos dos parâmetros de S.