Começaremos por mostrar técnicas de geometria diferencial para descrever
o espaço tangente como uma variedade. Recordaremos as estruturas
complexa, simpléctica e Riemanniana naturais de TM de uma variedade M
Riemanniana, induzidas apenas por uma conexão métrica em M. Em novo
contexto introduzem-se estruturas ponderadas (com pesos). Sobre os
fibrados de esferas S_sM={u\in TM: |u|=s}, de raio uma função positiva s
em M, estudaremos primeiro a topologia e depois a existência de
homotetias entre dois desses fibrados para diferentes métricas
ponderadas definidas em TM, induzidas pela mesma classe conforme em M.
Mostraremos também como obter métricas de curvatura escalar positiva com
estes espaços e ligeiras condições adicionais, generalizando por novas
vias resultados de Kowalski, Sekizawa e outros. Finalmente recordamos a
estratura de contacto de S_sM.