Uma pseudovariedade de semigrupos é uma classe de semigrupos finitos
fechada para subsemigrupos, imagens homomorfas e produtos directos
finitos. Esta noção foi introduzida por Eilenberg em 1976, quando
estabeleceu uma correspondência bijectiva entre pseudovariedades e
certas classes (variedades) de linguagens racionais. Devido em grande
parte a este teorema das variedades de Eilenberg e ao problema do
cálculo da complexidade de um semigrupo, que teve a sua origem num
resultado de Krohn e Rhodes de 1965 e que está ainda por resolver, uma
das questões centrais da teoria de semigrupos finitos é o problema da
pertença. Este problema é o de decidir, dados um semigrupo finito S e
uma pseudovariedade V, se S pertence a V.
Dado que as pseudovariedades são frequentemente definidas pela
aplicação a outras pseudovariedades de algum operador determinado por
geradores, e sabendo-se que alguns dos operadores mais úteis como o
supremo, o produto semidirecto e o producto de Mal'cev não preservam a
decidibilidade, procurou-se obter propriedades mais finas para os
argumentos de tais operadores que garantissem a decibilidade dos seus
valores. Com esse objectivo, Almeida e Steinberg introduziram em 1997 a
noção de mansidão de uma pseudovariedade.
Recorde-se que o supremo V W
de duas pseudovariedades V e W é a mais pequena pseudovariedade que
contém V e W. Neste seminário será abordado o problema de mostrar a
mansidão de VW
no caso de W ser mansa. Este problema será considerado para certas
pseudovariedades V contidas na pseudovariedade R dos semigrupos  -triviais, onde é uma das relações de Green. Um dos resultados descritos, obtido em colaboração com Almeida e Zeitoun, é o da mansidão de RW
em que W é uma subpseudovariedade da pseudovariedade dos semigrupos
completamente regulares. Em particular isto prova a decidibilidade de RG, onde G é a pseudovariedade dos grupos.
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